Найти трехзначное число, записанное в десятичной системе в виде abc, равное полусумме чисел bca и cab.

_____________________________________________________________________________

Перепишем условие задачи и получим:

2(100a + 10b + c) = (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b),

что после превращения преобразуется в 7a = 3b + 4c, или 3(a - b) = 4(c - a). Отсюда следует, что a - b делится на 4, т.е. a - b = 4m. Из равенства 3(a - b) = 4(c - a) получаем, что c - a = 3m. Сложив равенства a - b = 4m и c - a = 3m получаем c - b = 7m. Но |c - b| ≤ 9, а потому m может принимать лишь значения -1, 0, 1. Если m = 1, то из равенства c - b = 7m получаем, что возможны лишь следующие случаи: 1) c = 7, b = 0; 2) c = 8, b = 1; 3) c = 9, b = 2. А так как c - a = 3m, то отсюда получаем для a значения 4, 5, 6. И числа-ответы: 407, 518, 629. Аналогично, при m = -1 находим числа 370, 481, 592. Наконец, при m = 0 получаем a - b = 4m = 0, c - a = 3m = 0, т.е. a = b = c. Получаем еще 9 чисел: 111, 222, ... ,999.

Ответ: 407, 518, 629, 370, 481, 592, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.

Найти четырехзначное число abca (в десятичной записи), равное (5c + 1)².

________________________________________________________________

Учтем, что 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9; a, b, c Z и согласно условию запишем:

1001a + 100b + 10c = 25c² + 10c + 1;

25c² = 1001a + 100b - 1;

25c² - 1000a - 100b = a - 1;

Левая часть равенства делится на 25, значит и a - 1 должно делится на 25. Единственный возможный вариант - a = 1. Тогда

25c² - 100b = 1000;

c² = 40 + 4b;

c = 2.

Корень из b + 10 должен быть целым числом, а, согласно ограничениям на b, это возможно лишь при b = 6. Значит c = 8. Искомое число 1681.

Ответ: 1681.

Пусть p - простое число. Доказать, что 8p² + 1 - простое число, лишь при p = 3.

___________________________________________________________________

При p = 3, 8p² + 1 = 73 - простое число. Докажем, что если p ≠ 3, то 8p² + 1 - составное.

Из всех чисел кратным трем, лишь число 3 является простым. Пусть p не равно 3. Тогда p = 3k ± 1. Тогда 8p² + 1 = 8(3k ± 1)² + 1 = 8(9k² ± 6k + 1) + 1 = 72k² ± 48k + 9 = 3(24k² ± 16k + 3). Т.е., если p = 3k ± 1, то 8p² + 1 - составное. А значит лишь при p = 3, число 8p² + 1 - простое.

Что и требовалось доказать.

Решить уравнение x² - y² = 93 в целых числах.

_______________________________________

Для решения данной задачи необходимо найти все пары целых чисел (x; y), которые удовлетворяют условию или показать, что таких пар не существует.

Так как левая часть равенства можно разложить на множители, то резонно это сделать:

(x - y)(x + y) = 93;

Правая часть имеет восемь делителей: 1, 3, 31, 93, -1, -3, -31, -93, а потому может быть разложено на два целых множителя лишь восемью способами. А значит и уравнение имеет решения в восьми случаях:

Решив каждую из систем, получаем восемь пар решений исходного уравнения (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).

Ответ: пары чисел (x; y) равны (47; 46), (47; -46), (-47; 46), (-47; -46), (17; 14), (17; -14), (-17; 14), (-17; -14).