1. Метод бесконечного спуска.
Суть этого метода состоит в следующем: предположив, что уравнение имеет решение, мы выстраиваем некий бесконечный процесс, который на самом деле, по условию задачи, должен когда-то закончиться.
Пример:
Найти решение уравнения 2m2 = n2 в целых числах.
Решение: Начнем исследование данного уравнения. Левая часть уравнение делится на 2, значит и правая должна делится на 2. Тогда n = 2n1, где n1 ∈ Z (очевидно, если квадрат числа делится на 2, то и само число делится на 2).
2m2 = 4n12;
m2 = 2n12.
Теперь правая часть уравнения делится на 2, потому m = 2m1, где m1 ∈ Z.
4m12 = 2n12;
2m12 = n12.
Мы видим, что если пара (m; n) удовлетворяет уравнению, то и пара чисел (m1; n1) уменьшенных на 2, также удовлетворяет условию. Т.е. числа (m1; n1) должны оставаться парными. И как бесконечно долго мы не делили бы числа на 2, результат также должен оставаться парным числом. В целых числах лишь число 0 удовлетворяет данному утверждению.
Ответ: m = n = 0
2. Метод остатков.
Цель метода - нахождение остатков от деления обоих частей уравнения на некоторое целое число и анализ полученных результатов. Зачастую полученная информация значительно сужает множество возможных решений уравнения.
Пример:
Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.
Доказательство: Рассмотрим случай, когда x, y ∈ N. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1 (доказательство ищите в разделе "Задачи с решением"). Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.
Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.
Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.
Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x)2 = (x)2.
Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.
