Известно, что L, M, N - соотвественно l-й, m-й, n-й члены геометрической прогрессии. Доказать, что L ^m-nM ^n-lN ^l-m = 1.

____________________________________________________________________________

Выразим L, M, N через первый член геометрической прогрессии A и знаменатель q:

L = Aq^{l - 1}.

M = Aq^{m - 1}.

N = Aq^{n - 1}.

Тогда L ^m-nM ^n-lN ^l-m =

= A^mq^{(l - 1) m} / Aⁿq^{(l - 1) n} · Aⁿq^{(m - 1) n} / A^lq^{(m - 1) l} · A^lq^{(n - 1) l} / A^mq^{(n - 1) m} =

q^lm / q^ln · q^mn / q^ml · q^nl / q^nm = 1.

Что и требовалось доказать.

Три числа, третье из которых равно 12, составляют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то эти три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Согласно условию, запишем первые два числа как a и aq. Т.к. эти два числа и 12 составляют геометрическую прогрессию, то a²q² = 12a.

Откуда a = 12 / q².

Т.к. числа a, aq, 9 составляют арифметическую прогрессию, то 2aq = a + 9.

Или a(2q - 1) = 9.

Подставляем a из предыдущего суждения и получаем:

12(2q - 1) = 9q².

3q² - 8q + 4 = 0.

Решения данного квадратного уравнения q₁ = 2, q₂ = ²/₃.

Зная знаменатель находим тройки чисел. При q = 2 это числа 3, 6, 12. При q = ²/₃ это числа 27, 18, 12.

Ответ: 3, 6, 12 и 27, 18, 12.

Сумма третьего и девятого члена члена арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.

____________________________________________________________________________

Согласно свойствам арифметической прогрессии a₃ + a₉ = a₁ + a₁₁ = 8.

По формуле суммы S₁₁ = (a₁ + a₁₁) · 11 / 2 = (a₃ + a₉) · 11 / 2 = 44.

Ответ: S₁₁ = 44.

Известно, что некоторая арифметическая прогрессия содержит члены a_2n и a_2m такие, что имеет место следующее соотношение ^a_2n /_a2m = -1. Существует ли член этой прогрессии, который равен нулю? Есть существует, какой номер этого члена?

____________________________________________________________________________

Исходя из условия получаем:

a_2n + a_2m = 0;

Используя формулу, выражающий некий член прогрессии через первый член и разность, получаем:

a₁ + (2n - 1)d + a₁ + (2m - 1)d = 0;

2a₁ + 2nd + 2md - 2d = 0;

a₁ + (n + m - 1)d = 0.

А это и означает, что существует член арифметической прогрессии с первым элементом a₁ и разностью d, который равен нулю. Т.е., используя ту же формулу, имеем a_{n + m} = 0.

Ответ: Существует, его номер n + m.