Разность арифметической прогрессии не равна нулю. Числа, которые равны произведению первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найти его знаменатель.
____________________________________________________________________________
Обозначим через a, b, c члены арифметической прогрессии. Исходя из свойств арифметической прогрессии 2b = a + c (*).
По условию ab, bc, ac образуют геометрическую прогрессию. Найдем ее знаменатель q. Он равен отношению второго члена геометрической прогрессии на первой или третьего на второй. Запишем:
q = bc/ab = ac/bc.
Или q = c/a = a/b.
Из свойств геометрической прогрессии также получаем, что b2c2 = ac·ab, т.е. bc = a2. Или b = a2/c.
Подставляем это значение b в полученное ранее равенство (*):
2a2/ c = a + с;
2a/ c = 1 + c/ a;
Делаем замену q = c/a (которое нам и нужно найти, т.к. это отношение и является искомым знаменателем) и после преобразования получаем квадратное уравнение q2 + q - 2 = 0.
У него два решения q = 1 или q = -2. Но заметим, если q = 1, то c/ a = a/ b = 1, т.е. a = b = c, что не удовлетворяет условию, т.к. в данном случае разность арифметической прогрессии равна 0. Потому ответ один q = -2.
Ответ: -2.
