Решить уравнение sin5x cos3x = sin9x cos7x.

______________________________________

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

¹/₂(sin8x + sin2x) = ¹/₂(sin16x + sin2x);

sin8x = sin16x;

sin16x - sin8x = 0, теперь используем формулу разницы синусов:

2cos12x sin4x = 0.

Откуда cos12x = 0 или sin4x = 0.

Из первого cos12x = 0, 12x = π/2 + πn, x = (1 + 2n)π/24 (n ∈ Z).

Из второго sin4x = 0, 4x = πm, x = πm/4 (m ∈ Z).

Ответ: x = (1 + 2n)π/24 или x = πm/4.

Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

_____________________________________

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos4x(2cos2x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.

Решить уравнение cos5x = cos2x.

___________________________

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

-2sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

Решить уравнение sin³x - 2cos²xsinx = 0.

_________________________________

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin²x - 2cos²x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).

sin²x - 2cos²x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos²x ≠ 0 и получаем:

tg²x - 2 = 0;

tg²x = 2;

tgx = ±√2;

x = ±arctg√2 + πm.

Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm.