Формулы суммы первой степени, квадратов, кубов первых n натуральных чисел.
Покажем, что для любого n ∈ N имеют место следующие равенства:
| 1) 1 + 2 + 3 + ... + n | = | n(n + 1) 2 |
; |
| 2) 12 + 22 + 32 + ... + n2 | = | n(n + 1)(2n + 1) 6 |
; |
| 3) 13 + 23 + 33 + ... + n3 | = | n2(n + 1)2 4 |
; |
Доказательство
| 1 + 2 + 3 + ... + n | = | n(n + 1) 2 |
Данная формула известна, как результат суммы членов арифметической прогрессии и доказать ее можно многими способами. Один из них, например, следующий. Запишем снизу, под суммой 1 + 2 + 3 + ... + n, сумму в обратном порядке:
| 1 | + | 2 | + | ... | + | n - 1 | + | n | |
| n | + | n - 1 | + | ... | + | 2 | + | 1 |
Если сложить эти две строки, то, с одной стороны, мы будем иметь удовенную изначальную сумму, т.е. 2(1 + 2 + 3 + ... + n). С другой стороны, заметим, что каждая пара чисел, стоящие одно над другим, дают в сумме n + 1 (для наглядности пары чисел выделены одинаковым цветом). Первая (синяя) дает n + 1, а каждой последующей верхнее число увеличивается на 1, а нижнее на 1 уменьшается. Таким образом суммы в последующих парах будут равняться n + 1. Всего таких пар n (по количеству чисел в сумме), а потому мы имеем равенство: 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1), откуда и получаем искомую формулу.
| 12 + 22 + 32 + ... + n2 | = | n(n + 1)(2n + 1) 6 |
Докажем с помощью метода математической индукции.
База индукции.
Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.
12 = 1·2·3/6 = 1.
База проверена.
Переход.
Пусть для некоторого k ∈ N выполняется равенство
| 12 + 22 + 32 + ... + k2 | = | k(k + 1)(2k + 1) 6 |
; |
Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что
| 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 | =? | (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 |
; (*) |
Пользуемся переходом, получаем
| k(k + 1)(2k + 1) 6 |
+ (k + 1)2 =? | (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 |
; |
Умножаем обе части на 6, сокращаем на k + 1:
k(2k + 1) + 6(k + 1) =? (k + 2)(2k + 3);
2k2 + 7k + 6 = 2k2 + 7k + 6.
Достигается равенство, а, значит, (*) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.
| 13 + 23 + 33 + ... + n3 | = | n2(n + 1)2 4 |
Здесь также воспользуемся методом математической индукции.
База индукции.
Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.
13 = 12·22/4 = 1.
База проверена.
Переход.
Пусть для некоторого k ∈ N выполняется равенство
| 3) 13 + 23 + 33 + ... + k3 | = | k2(k + 1)2 4 |
; |
Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что
| 3) 13 + 23 + 33 + ... + (k + k + 1)3 | =? | (k + 1)2(k + 2)2 4 |
; (**) |
Пользуемся переходом, получаем
| k2(k + 1)2 4 |
+ (k + 1)3 =? | (k + 1)2(k + 2)2 4 |
; |
Умножаем обе части на 4, сокращаем на (k + 1)2:
k2 + 4(k + 1) =? (k + 2)2;
k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4;
Достигается равенство, а, значит, (**) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.
