Литература
Великие математики
Таблицы
Игры
Разное
Гостевая книга
Карта сайта
Формулы сокращенного умножения
Целые числа
Модуль
Делимость. Сравнения
Рациональные уравнения
Рациональные неравенства
Степени. Корни
Тригонометрические уравнения, неравенства
Показательные уравнения, неравенства
Логарифмические уравнения, неравенства
Арифметические, геометрические прогрессии
Комбинаторика. Бином Ньютона
Последовательности и пределы
Олимпиадные задачи
Планиметрия
Стереометрия

Теория Задачи с решением Задачи без решений Методы решения

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N. В том случае, когда эта функция числовая, то последовательность называется бесконечной числовой последовательностью. Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f(n), которое соответствует натуральному числу n, называется n-м членом последовательности. Иногда вместо f(n) используются обозначения an, xn.

Примеры числовой последовательности:

f(n) = 3n + 2, откуда f(1) = 5, f(2) = 8,..., f(100) = 302,... ;

f(n) = 1 + (-1)n, откуда f(1) = 0, f(2) = 2,... или, в общем случае, f(2k - 1) = 0, f(2k) = 2 (kN).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n-го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: an = 2n.

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: an = 2(an-1 + 3), a1 = 2. Тогда a2 = 10, a3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей, если для любого nN выполняется неравенство an < an+1.

Последовательность называется спадающей, если для любого nN выполняется неравенство an > an+1.

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательность заданная формулой an = n/(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница an+1 - an = (n + 1)/(n + 2) - n/(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть an < an+1. Последовательность с общим членом an = 1 + (-1)n не является монотонной, т.к. a1 < a2, а a2 > a3.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число MR, что anM.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число mR, что anm.

Например, последовательность an = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность an = (-1)nn не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (an), если для любого ε > 0 существует натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство |an - a| < ε. Это записывается так: limn→∞an = a или ana.

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся. Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся.

Если limn→∞an = 0, то последовательность (an) называется бесконечно малой.


Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b, то limn→∞(an + bn) = a + b;

2. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b, то limn→∞(anbn) = ab;

3. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b ≠ 0, то limn→∞(an/bn) = a/b;

4. limn→∞can = climn→∞an, где cR;

5. Если limn→∞an = limn→∞bn = a и ancnbn, то limn→∞cn = a.

6. Если limn→∞an = a, limn→∞bn = b и an < bn при nN, то ab.

Полезные теоремы смотрите в разделе "Методы решения".



Поиск по сайту
Перевод на другие языки
В 1897 г. Генеральная Ассамблея американского штата Индиана утвердила билль 246, согласно которому число π принималось равным 4.
На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.
Если вы хотите оказать помощь проекту - прочтите, пожалуйста, это.
Наш проект в социальных сетях:
- Живой журнал
- В Контакте
- Facebook
- Twitter
Чтобы сайт всегда был под рукой:
- Добавить в избранное
Также вы можете добавить новости проекта в свою "Ленту новостей":
- RSS
Свяжитесь с нами используя раздел Контакты
Последняя новость :

Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Rambler's Top100



2009-2013 © "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
При использовании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Особая благодарность Артему Субачу за консультации при создании данного проекта.

Контактный мини в районах Москвы - Отрадное и Бибирево.