Упростить выражение √11 + 2√18 + √|2√18 - 11|.

_________________________________________

Воспользуемся методом упрощения таких выражений:

√11 + 2√18 + √|2√18 - 11| = x;

(√11 + 2√18 + √|2√18 - 11|)² = x²;

11 + 2√18 + 2√(11 + 2√18)(|2√18 - 11|) + |2√18 - 11| = x²;

Чтобы избавиться от модуля оценим 2√18 и 11.

Так как 72 < 121, то √72 < √121, а значит 2√18 < 11. Модуль открываем со знаком "-".

11 + 2√18 + 2√121 - 72 + 11 - 2√18 = x²;

22 + 2√49 = x²;

22 + 14 = x²;

x = 6 (т.к. исходное выражение было положительным).

Ответ: 6.

Упростить выражение √|12√5 - 29| - √12√5 + 29.

_________________________________________

Для начала оценим 12√5 и 29, чтобы избавиться от модуля.

Так как 720 < 841, то √720 < √841 и 12√5 < 29. Модуль открываем со знаком "-".

Используем метод упрощения выражения:

√29 - 12√5 - √29 + 12√5 = x;

(√29 - 12√5 - √29 + 12√5)² = x²;

29 - 12√5 - 2√(29 - 12√5)(29 + 12√5) + 29 + 12√5 = x²;

58 - 2√841 - 720 = x²;

36 = x²;

x = -6 (т.к. исходное выражение отрицательное).

Ответ: -6.

Упростить выражение ³√2 + √5 + ³√2 - √5.

____________________________________

Используем способ упрощения таких выражений:

³√2 + √5 + ³√2 - √5 = x; ^(*)

(³√2 + √5 + ³√2 - √5)³ = x³;

2 + √5 + 3(³√(2 + √5)(2 - √5)(³√2 + √5 + ³√2 - √5) + 2 - √5 = x³;

С учетом ^(*) равенство примет вид:

4 + 3x·³√4 - 5 = x³;

x³ + 3x - 4 = 0;

x³ - x² + x² + 3x - 4 = 0;

x²(x - 1) + (x - 1)(x + 4) = 0;

(x - 1)(x² + x + 4) = 0;

Второй множитель больше нуля, а потому решение уравнения одно x = 1. А это и есть искомое выражение.

Ответ: 1.

Упростить выражение ³√20 + 14√2 + ³√20 - 14√2.

__________________________________________

Используем метод упрощения:

³√20 + 14√2 + ³√20 - 14√2 = x; ^(*)

(³√20 + 14√2 + ³√20 - 14√2)³ = x³;

20 + 14√2 + 3·³√(20 + 14√2)(20 - 14√2) (³√20 + 14√2 + ³√20 - 14√2) + 20 - 14√2 = x³;

Используя замену ^(*) получим:

40 + 3x·³√400 - 392 = x³;

x³ - 6x - 40 = 0;

x³ - 16x + 10x - 40 = 0;

x(x² - 16) + 10(x - 4) = 0;

x(x - 4)(x + 4) + 10(x - 4) = 0;

(x - 4)(x² + 4x + 10) = 0;

Значение во вторых скобках всегда положительное, а потому единственное решение уравнения x = 4. А это и есть значение нашего исходного выражения.

Ответ: 4.