Упростить выражение √11 + 2√18 + √|2√18 - 11|.
_________________________________________
Воспользуемся методом упрощения таких выражений:
√11 + 2√18 + √|2√18 - 11| = x;
(√11 + 2√18 + √|2√18 - 11|)2 = x2;
11 + 2√18 + 2√(11 + 2√18)(|2√18 - 11|) + |2√18 - 11| = x2;
Чтобы избавиться от модуля оценим 2√18 и 11.
Так как 72 < 121, то √72 < √121, а значит 2√18 < 11. Модуль открываем со знаком "-".
11 + 2√18 + 2√121 - 72 + 11 - 2√18 = x2;
22 + 2√49 = x2;
22 + 14 = x2;
x = 6 (т.к. исходное выражение было положительным).
Ответ: 6.
Упростить выражение √|12√5 - 29| - √12√5 + 29.
_________________________________________
Для начала оценим 12√5 и 29, чтобы избавиться от модуля.
Так как 720 < 841, то √720 < √841 и 12√5 < 29. Модуль открываем со знаком "-".
Используем метод упрощения выражения:
√29 - 12√5 - √29 + 12√5 = x;
(√29 - 12√5 - √29 + 12√5)2 = x2;
29 - 12√5 - 2√(29 - 12√5)(29 + 12√5) + 29 + 12√5 = x2;
58 - 2√841 - 720 = x2;
36 = x2;
x = -6 (т.к. исходное выражение отрицательное).
Ответ: -6.
Упростить выражение 3√2 + √5 + 3√2 - √5.
____________________________________
Используем способ упрощения таких выражений:
3√2 + √5 + 3√2 - √5 = x; (*)
(3√2 + √5 + 3√2 - √5)3 = x3;
2 + √5 + 3(3√(2 + √5)(2 - √5)(3√2 + √5 + 3√2 - √5) + 2 - √5 = x3;
С учетом (*) равенство примет вид:
4 + 3x·3√4 - 5 = x3;
x3 + 3x - 4 = 0;
x3 - x2 + x2 + 3x - 4 = 0;
x2(x - 1) + (x - 1)(x + 4) = 0;
(x - 1)(x2 + x + 4) = 0;
Второй множитель больше нуля, а потому решение уравнения одно x = 1. А это и есть искомое выражение.
Ответ: 1.
Упростить выражение 3√20 + 14√2 + 3√20 - 14√2.
__________________________________________
Используем метод упрощения:
3√20 + 14√2 + 3√20 - 14√2 = x; (*)
(3√20 + 14√2 + 3√20 - 14√2)3 = x3;
20 + 14√2 + 3·3√(20 + 14√2)(20 - 14√2)
(3√20 + 14√2 + 3√20 - 14√2) + 20 - 14√2 = x3;
Используя замену (*) получим:
40 + 3x·3√400 - 392 = x3;
x3 - 6x - 40 = 0;
x3 - 16x + 10x - 40 = 0;
x(x2 - 16) + 10(x - 4) = 0;
x(x - 4)(x + 4) + 10(x - 4) = 0;
(x - 4)(x2 + 4x + 10) = 0;
Значение во вторых скобках всегда положительное, а потому единственное решение уравнения x = 4. А это и есть значение нашего исходного выражения.
Ответ: 4.