Найти остаток от деления 2³⁰ + 1 на 7.

Ответ: Остаток равен 2.

Доказать, что число 6²⁴⁰ - 1 делится на 35.

Указание: Воспользуйтесь свойствами сравнения.

Доказать, что при любом целом неотрицательном n число 7²ⁿ - 13⁶ⁿ + 17^{4n + 1} + 1 делится на 6.

Указание: Рассмотрите остатки от деления каждого из слагаемых на 6.

Доказать, что при любом целом неотрицательном n число 2n³ - 3n² + n делится на 6.

Указание: Воспользуйтесь методом математической индукции либо преобразуйте 2n³ - 3n² + n как сумму произведения трех последовательных чисел.

Доказать, что тричлен n² + 5n + 16 ни при каком целом n не делится на 169.

Указание: Пойдите от противного и найдите чему равно n в таком случае (решите квадратное уравнение). Найдите противоречие.