Для решения задач данного раздела полезно знать признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11. Это позволит моментально определять, делится ли число на указанное, значительно упростит поиски решения задач и даст знания, необходимые для решения задач из других разделов.
Признак делимости на 2.
Целое число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя его цифра делится на 2 (т.е. число четное).
Например, 288 делится на 2, т.к. 8 делится на 2.
Признак делимости на 3.
Целое число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например, 462 делится на 3, т.к. 4 + 6 + 2 = 12 делится на 3.
Признак делимости на 4.
Целое число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное последними двумя цифрами делится на 4.
Например, 1352 делится на 4, т.к. 52 делится на 4.
Признак делимости на 5.
Целое число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (т.е. число оканчивается на 5 или на 0).
Например, 235 делится на 5, т.к. 5 делится на 5.
Признак делимости на 6.
Целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3 (т.е. число четное и сумма цифр числа делится на 3).
Например, 4602 делится на 6, т.к. 4602 - парное и 4 + 6 + 0 + 2 = 12 делится на 3.
Признак делимости на 8.
Целое число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное последними тремя цифрами делится на 8.
Например, 32168 делится на 8, т.к. 168 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например, 756 делится на 3, т.к. 7 + 5 + 6 = 18 делится на 9.
Признак делимости на 10.
Целое число делится на 10 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 0.
Например, 2030 делится на 10, т.к. оканчивается на 0.
Признак делимости на 11.
Целое число делится на 11 тогда и только тогда, когда разница суммы цифр, стоящих на непарных местах, и суммы цифр стоящих на парных местах числа делится на 11.
Например, 918390 делится на 11, т.к. (9 + 8 + 9) - (1 + 3 + 0) = 26 - 4 = 22 делится на 11. Для лучшего восприятия, цифры на нечетных местах выделены синим, на четных - красным.
Признак делимости на 2n (n ∈ N).
В общем случае, число делится на 2n тогда и только тогда, когда число образованное последними n цифрами делится на 2n (n ∈ N).
Например, 14532320 делится на 32 (25), т.к. 32320 делится на 32.
Признак делимости на 5n (n ∈ N).
В общем случае, число делится на 5n тогда и только тогда, когда число образованное последними n цифрами делится на 5n (n ∈ N).
Например, 12625 делится на 125 (53), т.к. 625 делится на 125.
Признак делимости на 10n (n ∈ N).
В общем случае, число делится на 10n тогда и только тогда, когда число оканчивается на n нулей (n ∈ N).
Например, 150000 делится на 10000 (104), т.к. число оканчивается на 4 нуля.
