Неравенство Коши.
| a1 + a2 + ... + an n |
≥ n√ a1a2...an | , где ai ∈ R, ai ≥ 0, i = 1,2,...,n. |
Доказательство
Для начала отметим, что если хотя бы одно из чисел ai = 0, правая часть будет равняться нулю, а левая - неотрицательной. Потому далее будем рассматривать лишь ai > 0.
Выведем вспомогательное неравенство. Обозначим за Gm = m√ a1a2...am. Отметим, что
am+1 = Gm+1m+1/Gmm = Gm(Gm+1/Gm)m+1 = Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1.
Согласно неравенства Бернулли
Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1 ≥ Gm(1 + (m+1)(Gm+1/Gm - 1)) = Gm + (m+1)Gm+1 - (m+1)Gm = (m+1)Gm+1 - mGm.
Или am+1 ≥ (m+1)Gm+1 - mGm (*)
Теперь воспользуемся методом математической индукции.
1. База индукции.
При n = 1 неравенство Коши имеет вид a1 = a1. База проверена.
2. Переход.
Пусть при неком n = k неравенство Коши выполняется, то есть
| a1 + a2 + ... + ak k |
≥ k√ a1a2...ak = Gk. |
Докажем, что выражение верно и при n = k+1.
Исходя из перехода:
a1 + a2 + ... + ak ≥ kGk.
Добавляем к данному неравенству (*) при значении m = k и получим:
a1 + a2 + ... + ak + ak+1 ≥ kGk + (k+1)Gk+1 - kGk = (k+1)Gk+1.
Исходя из этого
| a1 + a2 + ... + ak+1 k+1 |
≥ Gk+1 = k+1√ a1a2...ak+1. |
Переход доказан, а значит и наше предположение верно. Что и требовалось доказать.
Отметим, что равенство достигается лишь в том случае, когда a1 = a2 = ... = an.
