Неравенство Бернулли.

Для x ≥ -1 имеет место неравенство: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx, n ∈ Z ⁺.

Доказательство

Докажем с помощью метода математической индукции.

1. База индукции.

Для n = 0 имеем 1 ≥ 1.

База проверена.

2. Переход.

Пусть для некоторого k ∈ N имеет место

(1 + x)^k ≥ 1 + kx;

Докажем, что (1 + x)^{(k + 1)} ≥ 1 + (k + 1)x;

Исходя из перехода:

(1 + x)^{(k + 1)} = (1 + x)^k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) ≥ 1 + kx + x + kx² ≥ 1 + kx + x = 1 + (k + 1)x.

Переход доказан, а значит и все утверждение верно. Что и требовалось доказать.

Отметим, что равенство достигается в следующих случаях:

• при любых x ≠ -1, n = 0, n = 1;
• x = -1, любые n ≠ 0.

Назад